TP 3 : Modules et packages en Python

Un module est un fichier Python qui contient des définitions de fonctions et variables, réunies autour d'un même thème. Un package réunit plusieurs modules.
Une des forces de Python et son grand nombre de modules disponibles, et notamment dans les domaines scientifiques.
Par exemple, math est un module qui existe déjà lorsque vous installez Python et qui permet d'utiliser des fonctions mathématiques. Pour pouvoir l'utiliser, il faut l'importer :

In [7]:

import math

import math

Ensuite, on peut utiliser les fonctions de math en les préfixant par math (ce qui sert à distinguer une fonction de math avec une fonction de l'utilisateur qui aurait le même nom) :

In [5]:

math.exp(1)  # fonction exponentielle

math.exp(1) # fonction exponentielle

Out[5]:

2.718281828459045

SciPy¶

SciPy est un package Python pour les mathématiques et la science. Il possède plusieurs sous-modules intéressants.

Intégration¶

scipy.integrate permet d'intégrer des fonctions.

In [2]:

from scipy import integrate

def f(x): # la fonction qu'on va intégrer
    return x

integrate.quad(f, 1, 2)

from scipy import integrate def f(x): # la fonction qu'on va intégrer return x integrate.quad(f, 1, 2)

Out[2]:

(1.5, 1.6653345369377348e-14)

scipy.integrate.quad(f, a, b) donne la valeur de $\int_a^b f(x) dx$, avec une estimation de l'erreur sur le résultat.
Ainsi, sur l'exemple ci-dessus, on apprend que $\int_1^2 xdx = 1.5 ~(= \frac{3}{2})$

Exercice

Calculer avec SciPy la valeur de $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$ et retrouver le résultat en utilisant math.ln.

Solution

In [3]:

def f(x):
    return 1/x

print(integrate.quad(f, 1, 2))
math.log(2)

def f(x): return 1/x print(integrate.quad(f, 1, 2)) math.log(2)

(0.6931471805599454, 7.695479593116622e-15)

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-3-14d72a1a305b> in <module>
      3 
      4 print(integrate.quad(f, 1, 2))
----> 5 math.log(2)

NameError: name 'math' is not defined

Statistiques¶

scipy.stats permet d'utiliser des fonctions statistiques. Par exemple, la loi normale :

In [7]:

from scipy import stats

gaussienne = stats.norm()
gaussienne.stats()  # renvoie moyenne et variance

from scipy import stats gaussienne = stats.norm() gaussienne.stats() # renvoie moyenne et variance

Out[7]:

(array(0.), array(1.))

Exercice

Réécrire des fonctions moyenne et variance pour calculer la moyenne et la variance d'une liste de nombres.

SymPy¶

On étudie dans cette partie le module sympy, qui permet de faire du calcul formel.

Exercice

1. Importer sympy.
2. Écrire from sympy.abc import x, y. Ceci permet ensuite d'utiliser x et y comme variables indéterminées.

Manipulations simples¶

Exercice

1. expand permet de développer une expression. Essayer avec expand((x+y)**5).
2. expand permet aussi de développer une expression trigonométrique en utilisant l'option trig = True. Essayer avec expand(cos(2*x), trig = True) et vérifier la réponse mathématiquement (les fonctions classiques cos, sin, tan, ln, exp... sont définies dans sympy).
3. Retrouver aussi les formules pour $\cos(x+y)$ et $\sin(x+y)$.
4. factor permet de factoriser une expression. Factoriser $x^3 - x^2 + x - 1$ à la main en trouvant une racine évidente, puis vérifier en écrivant factor(x**3 - x**2 + x - 1).
5. simplify permet de simplifier une expression, par exemple en mettant au même dénominateur. Essayer avec simplify(5*x/(2*x**3) + 4/(3*x)) et vérifier la réponse.

Limites, dérivées¶

Exercice

1. limit permet de calculer une limite. Par exemple, limit(sin(x)/x, x, 0) calcule $\lim_{x\longrightarrow0} \frac{\sin(x)}{x}$. Essayer et vérifier le résultat mathématiquement.
2. Calculer $\lim_{x\longrightarrow0} x^x$ mathématiquement et vérifier avec Python.
3. $\infty$ est représenté par oo avec sympy. Calculer $\lim_{x\longrightarrow\infty} \frac{x}{\ln(x)}$ avec Python.
4. diff permet de calculer la dérivée d'une expression. Essayer par exemple diff(cos(x), x).
5. Les fonctions $\arccos$, $\arcsin$... existent dans sympy sous les noms acos, asin. Retrouver les dérivées de $\arccos$ et $\arcsin$ avec Python.
6. Calculer la dérivée de $x \longmapsto \arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x})$ avec Python (on pourra utiliser simplify pour simplifier la dérivée obtenue) et en déduire que $\forall x > 0$, $\arctan(x) + \arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}$.
7. integrate permet de trouver une primitive d'une expression. Essayer par exemple integrate(1/x, x).
8. Trouver une primitive de $\ln$, de $\frac{1}{x\ln(x)}$, de $x \exp(x)$.
9. On peut aussi calculer une intégrale avec integrate, en précisant les bornes. Par exemple, $\int_{-1}^1 x^2 \sin(x)dx$ se calcule en écrivant integrate(x**2 * sin(x), (x, -1, 1)). Essayer puis expliquer comment on aurait pu trouver immédiatement ce résultat.
10. Calculer $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$ (intégrale de Gauss).

Résolution d'équations¶

Exercice

1. On peut résoudre une équation du type $f(x) = 0$ en écrivant solve(f(x), x), qui renvoie la liste des solutions. Par exemple, on peut écrire solve(x**2 - x - 1, x) pour résoudre $x^2 - x - 1 = 0$. Essayer et retrouver le résultat mathématiquement.
2. On peut aussi résoudre des systèmes d'équations linéaires à plusieurs inconnues. Par exemple, \solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y]) permet de résoudre le système: $$x + 5y - 2 = 0$$ $$-3x + 6y - 15 = 0$$ Vérifier à la main la solution renvoyée par Python.

Séries¶

series permet de trouver le developpement limité d'une fonction. Par exemple, series(cos(x), x, 0, 8) donne le développement limité en 0 de $\cos$, à l'ordre 8.

Exercice

1. Retrouver les développements limités en 0 usuels: $\ln(1+x)$, $\sqrt{1+x}$, $\tan(x)$...
2. apart permet de développer une fraction en éléments simples. Essayer apart(1/(x*(x+1))) et vérifier le résultat.