TP 19 : Simulation de collision
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TP 19 : Simulation de collision#
Particules dans une boîte#
On considère des particules sous forme de disque, définies par le type ci-dessous.
from dataclasses import dataclass
@dataclass
class Particule:
x: float
y: float
vx: float
vy: float
m: float
r: float
Vous n’avez pas besoin de comprendre le code ci-dessus, mais seulement de savoir l’utiliser :
p = Particule(x=0, y=0, vx=1, vy=1, m=1, r=1) # pour définir une particule
print(p.x) # accéder à la position suivant x
print(p.vx) # accéder à la vitesse suivant x
p.vx = 2 # modifier la vitesse suivant x
0
1
Question
Écrire une fonction aleatoire(a, b)
qui renvoie un nombre aléatoire dans l’intervalle \([a, b]\). Pour cela on utilisera random()
de la bibliothèque random
, qui renvoie un nombre aléatoire dans l’intervalle \([0, 1]\).
aleatoire(1, 10)
6.124254375168906
Question
Écrire une fonction particules_aléatoires(n)
qui renvoie une liste de n
particules aléatoires p
où :
p.x
etp.y
sont des coordonnées aléatoires dans l’intervalle \([0, 10]\).p.vx
etp.vy
sont des vitesses aléatoires dans l’intervalle \([-1, 1]\).p.m
est une masse aléatoire dans l’intervalle \([1, 10]\).p.r
est égal à \(0.5\).
On utilisera random()
du module random
pour générer un nombre aléatoire dans l’intervalle \([0, 1]\).
particules_aléatoires(3)
[Particule(x=5.223220080376285, y=8.920130314606784, vx=0.05022210059556098, vy=-0.8512038349545941, m=2.264370339299915, r=0.5),
Particule(x=1.9763078437953852, y=0.4281365850796104, vx=0.8034415893697311, vy=0.8271995031459225, m=2.964015402614194, r=0.5),
Particule(x=2.4682814501937744, y=8.037961568338547, vx=0.13827098423564177, vy=0.8514548612044701, m=6.943890305958839, r=0.5)]
Question
Écrire une fonction avance(p, dt)
qui déplace la position de la particule p
pendant dt
secondes.
Il faut donc modifier p.x
et p.y
en fonction de p.vx
, p.vy
et dt
.
p = Particule(x=0, y=0, vx=1, vy=2, m=1, r=1)
avance(p, .1)
p
Particule(x=0.1, y=0.2, vx=1, vy=2, m=1, r=1)
On suppose que la particule p
est dans un carré de hauteur et largeur \(h\).
Si p
touche un bord vertical du carré, on change le signe de p.vx
(p.vx = -p.vx
).
Si p
touche un bord horizontal du carré, on change le signe de p.vy
.
![](https://raw.githubusercontent.com/fortierq/tikz-pdf/main/geometry/collision/bord/bord.png)
Particule avant et après collision avec un bord
Question
Écrire une fonction bord(p, h)
qui modifie la vitesse de p
si elle touche un bord du carré.
Question
Écrire une fonction etape(particules, h, dt)
qui parcourt chaque particule p
de la liste particules
et qui appelle bord
et avance
dessus.
Tester avec animation(particules_aléatoires(3))
(on pourra changer le nombre de particules).
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
from IPython.display import HTML
from matplotlib.patches import Circle
def animation(particules, n=200):
h = 10
fig = plt.figure()
ax = plt.axes(xlim=(0, h), ylim=(0, h))
ax.set_aspect('equal', 'box')
cercles = [Circle(xy=(p.x, p.y), radius=p.r) for p in particules]
for c in cercles:
ax.add_patch(c)
def init():
return cercles
def animate(i):
for _ in range(30):
etape(particules, h, .01)
for c, p in zip(cercles, particules):
c.center = (p.x, p.y)
return cercles
anim = FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, frames=n, interval=20, blit=True)
plt.show()
# return HTML(anim.to_jshtml())
animation(particules_aléatoires(3))
![../../../_images/collision_15_1.png](../../../_images/collision_15_1.png)
Collisions entre particules#
On considère deux particules p1
et p2
et on veut savoir si elles se touchent.
![](https://raw.githubusercontent.com/fortierq/tikz-pdf/main/geometry/collision/collision.png)
Question
Sur la figure ci-dessus, à quelle condition sur \(d\), \(r_1\), \(r_2\) y a t-il collision entre \(p_1\) et \(p_2\) ?
En déduire une fonction collision(p1, p2)
qui prend en argument deux particules et qui renvoie True
si elles sont en collision et False
sinon.
print(collision(Particule(x=0, y=0, vx=1, vy=2, m=1, r=1), Particule(x=.5, y=.5, vx=1, vy=2, m=1, r=1)))
print(collision(Particule(x=0, y=0, vx=1, vy=2, m=1, r=1), Particule(x=2, y=2, vx=1, vy=2, m=1, r=1)))
True
False
En une dimension#
On considère une collision parfaitement élastique (c’est-à-dire que l’énergie cinétique \(\frac{1}{2}mv^2\) et la quantité de mouvement \(mv\) sont conservées) entre deux particules \(p_1\) et \(p_2\), le long d’un axe \(x\).
![](https://raw.githubusercontent.com/fortierq/tikz-pdf/main/geometry/collision/elastique/elastique.png)
On appelle \(v_1\) la vitesse de \(p_1\) avant le choc et \(v_1'\) la vitesse après le choc. De même pour \(p_2\).
Question
Écrire les équations obtenues par conservation de l’énergie cinétique et de la quantité de mouvement.
Question
En déduire une expression pour \(v_1'\) et \(v_2'\).
Question
Écrire une fonction vitesse_collision(p1, p2)
qui modifie p1.vx
et p2.vx
en v1'
et v2'
.
Question
Réécrire la fonction etape(particules, h, dt)
en appelant collision
et vitesse_collision
pour simuler les collisions parmis les particules.
Question
Tester avec l’appel de fonction ci-dessous. On pourra changer les masses, les vitesses et rajouter des particules.
animation([Particule(x=3, y=5, vx=2, vy=0, m=1, r=.5), Particule(x=6, y=5, vx=0, vy=0, m=10, r=.5)])
![../../../_images/collision_25_1.png](../../../_images/collision_25_1.png)
En deux dimensions#
On note \(\mathbf{c}_1\), \(\mathbf{v}_1\) le vecteur position et le vecteur vitesse de \(p_1\). De même pour \(p_2\).
On peut alors montrer que les vecteurs vitesses après collision (en deux dimensions) sont donnés par :
Les opérations ci-dessus étant vectorielles, il est plus pratique d’utiliser numpy
, pour additioner et multiplier des vecteurs :
import numpy as np
p1, p2 = Particule(x=0, y=0, vx=1, vy=2, m=1, r=1), Particule(x=2, y=2, vx=1, vy=2, m=1, r=1) # exemple
v1, v2 = np.array([p1.vx, p1.vy]), np.array([p2.vx, p2.vy])
print(v1 + v2) # addition de vecteurs
print(np.dot(v1, v2)) # produit scalaire
print(np.dot(v1, v1)) # norme de v1 (produit scalaire de v1 et v1)
[2 4]
5
Question
Réécrire vitesse_collision(p1, p2)
en utilisant numpy
et les équations ci-dessus. Tester avec animation(particules_aléatoires(5))
.
animation(particules_aléatoires(5))
![../../../_images/collision_29_1.png](../../../_images/collision_29_1.png)
Avec la gravité#
Question
Réécrire avance(p, dt)
en ajoutant la gravité. Exceptionnellement, on prendra \(g = 0.4\).
animation(particules_aléatoires(3))
![../../../_images/collision_32_1.png](../../../_images/collision_32_1.png)